Линейные модели оптимизации в управлении Сначала рассмотрим задачи линейной оптимизации (или оптимизационные задачи линейного программирования), математические модели которых содержат лишь линейные зависимости от переменных. Как уже отмечалось, оптимизация, включающая теорию и методы решения задач, в которых критерий оптимальности (целевая функция) линейно зависит от параметров задачи, является наиболее разработанным разделом информационных технологий оптимальных решений. Линейные модели широко используются в теории и практике принятия управленческих решений. Современные информационные технологии оптимизации решений широкого класса практических задач включают их формулировку (построение математической модели), математические методы и компьютерные программы решения этих задач, а также методы экономико-математического анализа оптимальных решений. Общая задача линейной оптимизации заключается в нахождении максимума (минимума) линейной целевой функции , (2.1) при ограничениях , (2.2) , (2.3) . (2.4) Функция называется целевой функцией, критерием оптимальности или линейной формой. Вектор значений неизвестных , удовлетворяющих условию задачи (2.1)-(2.4), называется допустимым решением или допустимым планом задачи линейной оптимизации. Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обеспечивает максимальное (или, в зависимости от условий задачи, - минимальное) значение целевой функции. Решение задач линейной оптимизации может быть получено без особых затруднений (естественно, при корректной формулировке проблемы). Классическим методом решения задач данного типа является симплекс-метод. В случае лишь двух переменных успешно может использоваться также графический метод решения, обладающий преимуществом наглядности. Очевидно, в случае применение графического метода невозможно. При решении ряда оптимизационных задач требуется, чтобы значения неизвестных выражались в целых числах. Естественно, к задачам подобного типа относятся те, в которых требуется определить необходимые для принятия решений значения физически цельных объектов (машин, агрегатов различного типа, людей, транспортных единиц и т.д. и т.п.). Такие задачи относятся к задачам целочисленной оптимизации. Математическая модель задачи линейной целочисленной оптимизации также определяется формулами (2.1)-(2.4), но в данном случае налагается дополнительное требование целочисленности всех (или части) неизвестных. Если требование целочисленности распространяется лишь на часть неизвестных величин задачи, то такая задача называется частично целочисленной. Процесс построения математической модели для решения задачи начинается, как правило, с ответов на следующие вопросы: · Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные задачи? · Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы? · В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи? После ответа на данные вопросы для построения модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных. Надлежащий анализ вопросов подобного рода и корректная формулировка математической модели являются центральным звеном решения задач линейной (и не только линейной) оптимизации. Эффективным средством решения задач линейной оптимизации является MS Excel. Входящий в состав данного программного продукта пакет Поиск решения (Solver) позволяет проводить решения задач подобного рода с большим (свыше 200) числом переменных и ограничений. Отметим, что применительно к задачам оптимизации производственной программы предприятия наиболее типичными задачами линейной оптимизации являются оптимизация дохода, прибыли, себестоимости, номенклатуры производимой продукции, затрат станочного времени и т.п. Рассмотрим использование информационных технологий решения задач линейной оптимизации на ряде конкретных примеров, имеющих непосредственное отношение к практике принятия управленческих решений. Пример 1. Определение оптимального ассортимента продукции. Предприятие изготавливает два вида продукции П1 и П2 , которая поступает в оптовую продажу. Для производства используются два вида сырья и . Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции приведен в таблице. Маркетинговые исследования показали, что суточный спрос на продукцию П1 не превышает спрос на продукцию П2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 не превышает 2 единиц в сутки. Оптовые цены единицы продукции равны для П1 3 д.е., для П2- 4 д.е. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? Решение. Очевидно, фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов. Предположим, что предприятие изготовит единиц продукции П1 и единиц продукции П2. Поскольку производство продукции ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, получим следующую систему ограничений: Пример 2 .Использование мощностей оборудования. Предприятие имеет моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: - время работы каждой машины; продукции - го вида должно быть выпущено не менее единиц. Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой - машины по выпуску - го вида продукции и стоимость единицы времени, затрачиваемого -й машиной на выпуск - го вида продукции . Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы время работы - машины по выпуску - го вида продукции , обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин и заданному количеству продукции . Решение. По условию задачи машины работают заданное время , поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде: Ограничение по заданному количеству продукции имеет вид: . Задача решается на минимум затрат на производство: В данной постановке задачи предполагается, что количество выпускаемой продукции должно быть, по крайней мере, не менее . В некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре; очевидно в этом случае в ограничениях по количеству продукции необходимо использовать знак равенства. Проведем решение задачи в Excel. Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис 2.3.